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Espacio muestral y probabilidad
Un espacio muestral $\Omega$ es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Un evento $A$ es cualquier subconjunto de $\Omega$.
La probabilidad cumple tres axiomas (Kolmogorov):
- $P(A) \geq 0$ para todo evento $A$
- $P(\Omega) = 1$
- Si $A \cap B = \emptyset$, entonces $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Probabilidad condicional
La probabilidad de $A$ dado que ocurrió $B$ es:
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$
Dos eventos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria $X$ asigna un número real a cada resultado del espacio muestral.
- Discreta: toma valores contables. Su distribución se describe con una función de masa de probabilidad $p(x) = P(X = x)$.
- Continua: toma valores en un intervalo. Se describe con una función de densidad $f(x)$ donde $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$.
Esperanza y varianza
$$E[X] = \sum_x x \cdot p(x) \qquad \text{(discreta)}$$
$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$
Distribución Normal
La distribución más importante del curso. $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ tiene densidad:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
Para calcular probabilidades se estandariza: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$.
En Python:
from scipy import stats
mu, sigma = 5, 2
X = stats.norm(mu, sigma)
print(X.mean(), X.std()) # 5.0 2.0
print(X.pdf(5)) # densidad en x=5
print(X.cdf(7)) # P(X <= 7)
print(X.ppf(0.95)) # percentil 95